Operaciones con Conjuntos

Teoria de Conjuntos

 

 

Constantemente sin darnos cuenta estamos "construyendo" conjuntos. Cuando vamos al mercado y hacemos compras; cuando nos reunimos; cuando ordenamos las cosas en casa, etc., de alguna manera estamos agrupando

Debe estar bien definido, de tal manera que no genere dudas. Es decir, los conjuntos formados no deben prestarse a subjetividades.

¿Qué es un Conjunto? 
Un conjunto es una colección o reunión de objetos, seres, números, etc, con características comunes entre sus elementos.

Conjuntos correctamente definidos:  

ü  EL conjunto de jugadores de la selección peruana del 2008.

ü  El conjunto de los días de la semana.

ü  El conjunto de las vocales del alfabeto castellano.

ü  El conjunto de los números naturales.

NOTACIÓN DE CONJUNTO Y ELEMENTO

 

1.          NOTACIÓN DE CONJUNTOS:

A los conjuntos se les nombra con letras mayúsculas, tales como A, B, C, D, etc. y se leen: Conjunto A, conjunto B, etc. 

2.          NOTACIÓN DE ELEMENTOS:   

Un elemento es cada uno de los objetos, seres o cosas que conforman el conjunto.

Para representar  los elementos lo hacemos con letras minúsculas. Si los elementos son letras se les separa con comas; si son números, por  puntos y comas, para no confundirlos con los números decimales.

 

Ejemplos: 

B        =  {a, e, i, o, u} 

se lee: Conjunto B formados por las vocales del alfabeto castellano.

N        =  {0; 1; 2; 3;…}

se lee: Conjunto N formado por los números naturales.

Representación de Conjuntos

 

Í DIAGRAMAS  DE  VENN - EULER 

El conjunto es representado de manera gráfica mediente dibujos o diagramas que pueden ser cualquier figura geométrica o cualquier curva cerrada

 

NOTA: El nombre se debe al filósofo ingles John Venn (1834-1883).

Í DIAGRAMA  DE  LLAVES

Los elementos se encuentran entre llaves. El conjunto va precedido del nombre del conjunto seguido del signo igual.

 

 

 

 

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

 

 Un conjunto se puede determinar de dos maneras:

 

 

 

 

A.          DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN

Un conjunto está determinado por comprensión cuando se hace referencia a la propiedad del conjunto.

 

             Ejemplo nº 1                               

Se lee: El conjunto A formado por todas las “x” tal que “x” es una vocal.

           Ejemplo nº2

C = {x/x ϵ N; 1≤  x < 10; x es par}

Se lee: El conjunto C formado por todas las “x” tal que “x” es un número natural mayor o igual que 1 y menor que 10,   y es par.  

OTRA FORMA DE EXPRESAR UN CONJUNTO POR COMPRENSIÓN:
Es indicar la caracteristica en común que tiene el conjunto .

Ejemplo:

A = {los meses del año cuya letra inicial es una vocal}
M = {las vocales}
E = {las notas musicales}
 

B.         DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN

Un conjunto está determinado por extensión cuando se nombra o enumera cada uno de sus elementos. Es lo contrario a la determinación por comprensión. 

Ejemplos:  

A =     {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

B =     {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;…}

P =     {0; 2; 4; 6; 8;…}

I  =     {1; 3; 5; 7; 9;…}

 

 

CAMBIAMOS UN CONJUNTO

DE COMPRENSIÓN A EXTENSIÓN

 

Para pasar un conjunto que está por Comprensión (donde x/x se le egraga una operacion) Ejemplo:

 

    v  M = {x+3/x ∈N: 1 ≤ x < 20; x es impar}

    v   L = {x+2/x ∈N: 1 ≤ x < 10}

      v  K = {2x+1 /x ∈ N; 1 ≤ x<6}

Ejemplo:

v  Dado el siguiente conjunto, determinarlo por extensión.

C = {x+2/x ∈ N: 1 ≤  x < 10; x es par}

Paso 1: El intervalo siempre es el primer paso. De éste se obtienen los valores de x.

                     v    1 ≤  x < 10,   entonces…
            v    X:  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

Paso 2: De los valores obtenidos en el paso 1, se filtran o se escogen los que son pares. 

v    x es par,    

v    x: 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9

v    x: 2; 4; 6; 8

Paso 3: Finalmente, se reemplaza X con los valores hallados, en el paso 2: 

 

                                                               X  +  2  = ?

                                                              ò

                 (2) + 2 = 4

                 (4) + 2 = 6

                 (6) + 2 = 8

                  (8) + 2 =10

 

RELACIONES DE CONJUNTOS

 

PERTENENCIA (∈) Y NO  PERTENENCIA (∉)

  

1.      NOCIÓN DE PERTENENCIA: ( ∈ )

Un elemento PERTENECE a un conjunto forma parte  del conjunto; es decir, el elemento se encuentra  “dentro del conjunto”. 

v    Notación:  La pertenencia se simboliza con el signo ∈,  que se lee  “pertenece a”

 

         Ejemplo:                          A = {a, e, i, o, u}  



• a  ∈  A    
• e   ∈ A           
• i   ∈  A               
• o  ∈  A                      
• u  ∈  A

 

2.      NOCIÓN DE NO PERTENENCIA: ( ∉ )

Un elemento NO PERTENECE a un conjunto cuando éste no forma parte del conjunto; es decir, el elemento se encuentra “fuera del  conjunto”.  

v    Notación:La “no pertenencia” se simboliza con el signo ∉, que se lee “no pertenece a”.

Ejemplo:

B = {0; 1; 2; 3}

 

 

• 4  ∉   B
• 5  ∉   B 

Recuerda que los símbolos de ∈  y  ∉ se usan de elemento a conjunto y no de conjunto a elemento.
 

ENTONCES:
 

a  ∈  A         : El elemento a pertenece al conjunto A           CORRECTO 
A   ∈  a         : El conjunto A pertenece  al elemento a         INCORRECTO
4  ∉  B         : El elemento 4 pertenece al conjunto B           CORRECTO
B   ∉  4         : El conjunto B pertenece  al elemento 4         INCORRECTO

Subconjuntos

*      Observa el siguiente conjunto y responde: 

 

 

 

    Un conjunto "Y" es subconjunto de otro conjunto "Z" cuando todos los elementos de un conjunto "Y" están en el conjunto "Z".   

    Para representar subconjuntos empleamos los símbolos:

Í  ⊂   se lee: "está incluido en"

Í  ⊄   se lee: "no está incluido en"

ß  SUBCONJUNTO:

Un conjunto es llamado subconjunto cuando está contenido en otro; es decir; cuando todos sus elementos pertenecen al otro conjunto. 

ß  SUPERCONJUNTO: 

Un conjunto es llamado superconjunto cuando contiene a otro u otros dentro de sí.

¡Observa!

A = {1; 2; 3; 4; 5}

B = {3; 4}

Como podrás ver, todos los elementos de B pertenecen también al conjunto A.

INCLUSIÓN (⊂)  Y NO INCLUSIÓN  (⊄)

1.           INCLUSIÓN (⊂ ): 

Un conjunto está incluido o está incluido o es subconjunto de otro conjunto, si todos sus elementos pertenecen, o están contenidos, en el otro conjunto.

 

B ⊂ A

Se puede  leer de varias formas:  

²    B está  incluido en A

²    B está  contenido en A

²    B es una parte de A

²    B es subconjunto de A

 

2   .       NO INCLUSIÓN (⊄ ) :

Un conjunto no está incluido en otro conjunto o no es subconjunto de otro conjunto, si al menos un elemento no pertenece o no se encuentra dentro del otro conjunto.

             B  ⊄  A                     B ⊄ A

Se lee: B no incluido en A

 

 

El Adjetivo

I.   DEFINICIÓN 

1.  CRITERIO MORFOLOGICO

    Es una categoría gramatical variable, con accidentes gramaticales de género y número, que deben de concordar con los del nombre.

2.  CRITERIO SEMANTICO

    Precisa el significado del sustantivo, aportando ideas de cualidad, distancia, pertenencia, cantidad, etc.

3.  CRITERIO SINTACTICO

    Funciona como modificador directo (MD) del sustantivo.

4.  CRITERIO LEXICOLOGICO

    Es una categoría de inventario abierto, porque admite la incorporación de nuevos vocablos a su lista.

I.           CLASIFICACION

       Adjetivo Calificativo o epíteto

     Adjetivos Determinativos

ADJETIVO CALIFICATIVO

1.  DEFINICIÓN:

1.1.           El adjetivo calificativo es aquella palabra que indica características o propiedades del nombre. Ejemplo: juez honesto, noche romántica.

1.2.           El adjetivo calificativo es dependiente semántica y funcionalmente al nombre.

Ejemplo:

·       En el pasadizo nebuloso.

·       Cual mágico sueño de Estambul

·       Su perfil presenta destellos

·       La niña de la lámpara azul.

2.  POSICIÓN DEL ADJETIVO EN EL GRUPO NOMINAL

El adjetivo adyacente de un sustantivo puede anteponerse o posponerse a éste. El valor del adjetivo es variable según su posición.

1.1.           Adjetivo Antepuesto: También llamados Epíteto o Explicativo, revela que el hablante tiende a explicar y describir la realidad sugerida por el sustantivo.

Ejemplo:

·       El duro mármol se describe como es el mármol y no designa que clase o especie es.

·       La oscura noche, el  encendido  fuego, el árido desierto, una  alada mariposa.

1.2.           Adjetivo Pospuesto o Especificativo: Especifica como es el sustantivo, diferenciándola de otros.

Ejemplo:

·       En la casa vieja   la intención del hablante es señalar una clase de casa diferente a otras: la casa nueva, la casa bella, la casa remodelada.

·       La mujer  morena, el hombre  inteligente, el cabello limpio, el régimen   democrático.

Pero, el valor de la anteposición o posposición del adjetivo depende muchas veces de la intención del hablante que de criterios objetivos.

En ocasiones, la posición del adjetivo ocasiona cambios en su significado.        Confrontemos:

 

GRADOS DE SIGNIFICACIÓN DE LOS ADJETIVOS CALIFICATIVOS

FORMACIÓN DE LOS SUPERLATIVOS SINTÉTICOS

Los adjetivos tiene las terminaciones “re” o “ro” utilizan el sufijo “érrimo”

Acre	Acérrimo		Libre	Libérrimo
Áspero	Aspérrimo		Pobre	Paupérrimo
Célebre	Celebérrimo		Pulcro	Pulquérrimo
Negro	Nigérrimo		Íntegro	Integérrimo
Salubre	Salubérrimo		Mísero	Misérrimo

Los adjetivos que tiene otras terminaciones utilizan el sufijo “ísimo” o “entísimo”

FORMAS ESPECIALES DEL COMPARATIVO Y SUPERLATIVO

ADJETIVO DETERMINATIVO

1.   Son los adjetivos que limitan o restringen la significación del sustantivo.

2.   Se diferencian de los pronombres determinativos en que los adjetivos son Modificadores del nombre, en cambio los pronombres sustituyen al nombre.

ADJETIVOS DEMOSTRATIVOS

Son aquellos adjetivos que se encargan de señalar la ubicación del sustantivo mencionado en relación con el hablante.

·       Esta noche veremos ese programa de televisión.

·       Esos alumnos entrarán a aquel salón.

·       Aquella casa de la esquina se ve tenebrosa 

ADJETIVOS POSESIVOS

Son aquellos que modifican al sustantivo señalando pertenencia o posesión

·       Nuestras Intenciones son nobles.

·       Vuestras palabras resultaron hirientes para nosotros.

·       Mi amistad te la ofrezco sinceramente.

·       Mi pantalón y mi camisa

·       Uno mío y una mía.

·       Estos son mis filetes y estas son tus tostadas.

·       Estos filetes son míos y estas tostadas son mías.

·       Su paciente lo llama y su enfermera lo busca.

·       Un paciente suyo lo llama y una enfermera suya lo busca.

·       Tus libros y tus plumas.

·       Los libros son tuyos y las plumas son tuyas.

·       Los niños dicen que su perro se accidentó.

·       Los niños dicen que un perro suyo se accidentó

ADJETIVOS NUMERALES

Son aquellos que indican cantidad u orden en relación con el sustantivo por éste modificado.

Nota: Sendos significa “uno para cada uno”

Tipos y Ejemplos de Adjetivos Numerales:

Cardinales: Son aquellos Numerales que expresan Cantidad:

• María ha comprado una casa
• Juan ha tenido dos oportunidades
• Julia tiene tres hijos
• Subió siete pisos
• Rompió dos vasos
• Recibió doce volantines
• Cortó una cuerda
• Tiene cuatro juguetes
• Leyó tres libros

 Ordinales: Son aquellos Numerales que expresan el Orden en que se encuentra el sustantivo dentro de un grupo mayor:

• María ha comprado su primera casa
• Es la segunda oportunidad de Juan
• Julia ha tenido a su tercer hijo
• Llegó en quinto lugar
• Fue al séptimo piso
• Ocupó el sexto asiento
• Clasificó en octavo puesto
• Faltó al primer mandamiento
• Ganó en la novena carrera

Múltiplos: Son aquellos Numerales que expresan las veces que se contiene una cantidad:

• doble
• triple
• cuádruple
• quíntuple
• séxtuple
• Quiero doble ración de cocido
• Este problema puede analizarse desde una perspectiva triple
• La casa era el doble más grande que otras
• Fue un parto triple

Partitivos: Son aquellos Numerales que expresan las partes en que puede dividirse un objeto o conjunto:

• un medio
• un tercio
• un cuarto
• un doceavo
• un quinceavo
• un veinteavo
• Ocupó apenas la décima parte de la sala
• Se comieron la mitad de la torta

ADJETIVOS INDEFINIDOS

Son aquellos que modifican al sustantivo de una forma vaga o imprecisa. Indican cantidad, cualidad, existencia, identidad; pero de forma indeterminada. 

Tipos y Ejemplos de Adjetivos Indefinidos:

Existen los siguientes tipos de Adjetivos Indefinidos:

1. Peculiares

Los Peculiares son aquellos Adjetivos Indefinidos que se utilizan cuando la relación con el sustantivo no es precisa:

• Escoge una manzana cualquiera...
• Cierto día apareció un extraño personaje por el pueblo...
• Tal día como hoy...
• Quienquiera que haya sido, lo pagará muy caro...

2. Cuantitativos

Los Cuantitativos (o existenciales) son aquellos Adjetivos Indefinidos que se utilizan cuando la relación con el sustantivo implican cantidad de manera laxa:

• Nos han traido muy pocos regalos, esperábamos más...
• Hemos recibido demasiados informes...
• Siquiera ha podido servir para algo...
• Es bastante cantidad como para llevárnoslo...
• Tengo mucha hambre
• Hay poca gente
• Todos los sueños se cumplen

3. Distributivos

Los Distributivos son aquellos Adjetivos Indefinidos que se utilizan cuando se expresa de una manera vaga la distribución de los elementos implicados:

• Cada cual que aguante su vela...
• Las demás tareas pueden dejarlas para mañana...
• Sendos cupones resultaron agraciados...
• En ambos sentidos...
• Las cuatro niñas tienen sendas copas de helados
• Cada tres noches
• Cada cien metros
• Cada cierto tiempo
• Cada persona es un mundo
• Cada año hay Navidad
• Cada uno que saque sus propias concusiones
• Las demás niñas pueden volver mañana.
• Le dio a sus dos hijos sendos besos.
• Fue incapaz de decidirse y se compró ambos vestidos.
• Los tres amigos se bebieron sendas jarras de cerveza.
• Debe tomare el jarabe cada seis horass
• Levantaron el peso tonel entrambos hermanos
• Tienen dos hijos cada una.

Los Adjetivos Exclamativos son aquellos Adjetivos que acompañan al nombre en las oraciones exclamativas.  

Los Adjetivos Exclamativos se utilizan para expresar emociones y sentimientos, reacciones. Pueden ser de susto, enfado, sorpresa, admiración o cualquier otro estado de ánimo. Los Adjetivos Exclamativos van siempre en oraciones rodeados de signos de exclamación (“¡!”), y llevan siempre tilde. Los Adjetivos Exclamativos son los siguientes:
• Qué
• Cuánto, cuánta, cuántos, cuántas
• Cuál, cuáles (en deshuso)

Ejemplos de Adjetivos Exclamativos:
• ¡Qué listo!
• ¡Qué suerte tienes!
• ¡Cuánta gente!
• ¡Qué inteligente es!
• ¡Cuánta belleza!
• !Qué empeño en invadir la intimidad de las personas!
• !Cuántas tonterias dices!

Los Adjetivos Exclamativos (que acompañan al nombre) no deben ser confundidos con los Pronombres Exclamativos (que sustituyen al nombre)

• ¡Cuántos han venido! (En este caso "Cuántos" sustituye a "asistentes")

Los Adjetivos Interrogativos son aquellos Adjetivos que acompañan al nombre en las oraciones interrogativas.Los Adjetivos Interrogativos se sitúan antes del nombre.

           Los Adjetivos Interrogativos son los siguientes:

• Qué
• Cuánto, cuánta, cuántos, cuántas
• Cuál, cuáles

                  (Los Adjetivos Interrogativos se acentúan siempre).

      Ejemplos de Adjetivos Interrogativos:

        A continuación algunos ejemplos de Adjetivos Interrogativos:

• ¿Cuánto tiempo necesitas?
• ¿Qué libros has leído este verano?
• ¿Cuáles libros te han gustado más?
• ¿Cuántos libros quieres leer este año?
Los Adjetivos Interrogativos no deben confundirse con los Pronombres Interrogativos. En estos casos, el Pronombre Interrogativo se distingue porque sustituye al nombre:
• ¿Me dices qué te pasa?
• ¿Cuál quieres?
• ¿Cuánto te debo?

ACCIDENTES GRAMATICALES DEL ADJETIVO

Adjetivo from Micaela Uribe Cordova